Константин Кучаев начал футбольный путь в академиях «Мастер-Сатурн» и ЦСКА.

За основную команду ПФК ЦСКА провел 153 игры, в которых отметился 11 голами и 15 голевыми передачами. В 2017 году забил мяч в ворота «Манчестер Юнайтед» в групповом этапе Лиги Чемпионов. Является обладателем Кубка России и трехкратным серебряным призером Чемпионата страны.

Играл также в аренде за «Рубин» (10 матчей). 

Вторую половину сезона 2023/24 провел в составе команды «Пари НН» — 11 матчей и одна голевая передача.